W matematyce jest pewne magiczne równanie, które kryje w sobie niejedno rozwiązanie. Mowa tu o równaniach kwadratowych, które są pełne tajemnic. Dziś skupimy się na jednym z takich równań z parametrem k i dowiemy się, jakie jego wartości sprawiają, że to równanie ma dokładnie dwa rozwiązania. Zatem zapnij pasy i ruszajmy w świat algebraicznych zagadek!
Równanie kwadratowe – fundamenty
Zanim przejdziemy do konkretów, przypomnijmy sobie, czym w ogóle jest równanie kwadratowe. Równanie kwadratowe ma postać:
ax² + bx + c = 0
Równanie kwadratowe jest interesujące, ponieważ w zależności od wartości współczynników a, b, c możemy uzyskać różną liczbę rozwiązań. Czasem będą to dwa rozwiązania, czasem jedno, a czasem… brak rozwiązań! Czego zależy ta liczba? Otóż odpowiedzią jest delta, czyli wyróżnik równania kwadratowego.
Delta – magiczny wyróżnik
Aby wiedzieć, ile rozwiązań ma nasze równanie kwadratowe, musimy obliczyć delte, która wyznacza charakter rozwiązań. Delta jest obliczana ze wzoru:
Δ = b² - 4ac
W zależności od wartości delty mamy różne przypadki:
- Δ > 0 – dwa rozwiązania rzeczywiste i różne
- Δ = 0 – jedno rozwiązanie rzeczywiste (tzw. pierwiastek podwójny)
- Δ < 0 – brak rozwiązań rzeczywistych (rozwiązania są zespolone)
Teraz nasz cel jest jasny: aby równanie kwadratowe miało dokładnie dwa rozwiązania, musi zachodzić warunek Δ > 0. Zatem musimy ustalić, kiedy tak się stanie w przypadku, gdy równanie zawiera parametr k.
Równanie z parametrem k
Przypuśćmy, że mamy równanie kwadratowe, w którym współczynniki zawierają parametr k. Załóżmy, że mamy równanie w postaci:
kx² + 2x + k = 0
Chcemy, aby to równanie miało dwa rozwiązania rzeczywiste. Zatem musimy obliczyć deltę dla tego równania:
Δ = (2)² - 4(k)(k) = 4 - 4k²
Chcemy, aby delta była większa od zera, czyli:
4 - 4k² > 0
Teraz rozwiązujemy nierówność:
4 > 4k²
Podzielmy obie strony przez 4:
1 > k²
Oznacza to, że:
|k| < 1
Czyli, aby równanie miało dokładnie dwa rozwiązania, parametr k musi spełniać nierówność -1 < k < 1.
Podsumowanie – kiedy równanie ma dwa rozwiązania?
Podsumujmy wszystko, co ustaliliśmy. Równanie kwadratowe o postaci:
kx² + 2x + k = 0
ma dokładnie dwa rozwiązania, gdy parametr k należy do przedziału -1 < k < 1. Dla wartości parametru poza tym przedziałem równanie nie będzie miało dwóch rozwiązań rzeczywistych. Możemy to przedstawić w tabeli:
| Wartość parametru k | Delta | Liczba rozwiązań |
|---|---|---|
| -2 | -12 | Brak rozwiązań rzeczywistych |
| -0.5 | 3 | Dwa rozwiązania rzeczywiste |
| 0.5 | 3 | Dwa rozwiązania rzeczywiste |
| 2 | -12 | Brak rozwiązań rzeczywistych |
Jak widać w tabeli, wartość parametru k musi mieścić się w przedziale -1 < k < 1, aby równanie miało dokładnie dwa rozwiązania. Inaczej zostaniemy z pustymi rękami (brak rozwiązań rzeczywistych). Pamiętajmy, że matematyka jest pełna niespodzianek, ale w tej konkretnej sytuacji możemy czuć się bezpiecznie, mając już jasność co do wyników.
